rsync - программа, позволяющая выполнять синхронизацию файлов между серверами.
В нашем случае мы будем её использовать для переноса сайтов.

Для этого нам понадобится root-доступ для обоих серверов.
Подробнее о получении root-доступа описано в этой статье - Root-доcтуп.
А про подключение по SSH в этой - Подключение к серверу по SSH

Рассмотрим перенос сайта со "старого" сервера на "новый"

После того как мы подключились к "старому" серверу, необходимо создать дамп базы данных:

mysqldump -u <username> -p <db_name> > </var/www/vhosts/domain.com/httpdocs/имя_файла>

Где:
<username> - имя пользователя базы данных
<db_name> - имя базы данных
</var/www/vhosts/domain.com/httpdocs/имя_файла> - путь к создаваемому дампу и его название. 
Рекомендуется создавать дамп в корневой директории сайта, чтобы он был перенесен сразу же вместе с основными файлами сайта.

Далее подключаемся к "новому" серверу и выполняем синхронизацию файлов с помощью следующей команды:

rsync -rvz root@old_server:/var/www/vhosts/domain.com/httpdocs/ /var/www/vhosts/domain.com/httpdocs/

Где:
root - имя пользователя для подключения к "старому" серверу
old_server - IP-адрес "старого" сервера
/var/www/vhosts/domain.com/httpdocs/ - путь к корневому каталогу сайта на "старом" сервере (откуда копировать данные). Через пробел указываем путь на "новом" сервере (куда будут скопированы данные).
Далее мы увидим процесс копирования, после чего получим уведомление о завершении операции.

Теперь нам нужно выставить корректные права на корневой каталог и файлы в нём:

chown -R user:group /var/www/vhosts/domain.com/httpdocs/

Где:
-R - для всех вложенных в каталог данных. Без -R изменения будут применены только к папке.
user - имя пользователя
group - название группы
/var/www/vhosts/domain.com/httpdocs/ - директория, к которой применяются изменения.

Теперь осталось загрузить дамп в базу данных на "новом" сервере:

mysql -u <username> -p <db_name> < </var/www/vhosts/domain.com/httpdocs/имя_файла>

Далее проверяем, совпадают ли все доступы в настройках сайта и БД с доступами нового сервера, и можем проверять работу сайта.